NUMEROS FIBONACCI Y FACTORIAL.(CLASE N°15)

NUMEROS FIBONACCI:

La sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci es la sucesión de números:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

Cada número se calcula sumando los dos anteriores a él.

• El 2 se calcula sumando (1+1)
• Análogamente, el 3 es sólo (1+2),
• Y el 5 es (2+3),
• ¡y sigue!

Ejemplo: el siguiente número en la sucesión de arriba sería (21+34) = 55

¡Así de simple!

Aquí tienes una lista más larga:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, ...

¿Puedes encontrar los siguientes números?

La regla

La sucesión de Fibonacci se puede escribir como una "regla" (lee sucesiones y series):

la regla es x_n = x_n-1 + x_n-2

donde:

• x_n es el término en posición "n"
• x_n-1 es el término anterior (n-1)
• x_n-2 es el anterior a ese (n-2)

Por ejemplo el sexto término se calcularía así:

x₆ = x_6-1 + x_6-2 = x₅ + x₄ = 5 + 3 = 8

TOMADO DE:ww.disfrutalasmatematicas.com/numeros/fibonacci-sucesion.html

 

TOMADA DE; http://csrg.inf.utfsm.cl/~rbonvall/progra-ust-2010-1/_images/k-fibonacci.png

NUMEROS FACTORIALES:

Factorial !

La función factorial (símbolo: !) sólo quiere decir que se multiplican una serie de números que descienden. Ejemplos: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040 1! = 1

"4!" normalmente se pronuncia "4 factorial". También se puede decir "factorial de 4"

Calculando desde el valor anterior

Es fácil calcular un factorial desde el valor anterior:

n	n!
1	1	1	1
2	2 × 1	= 2 × 1!	= 2
3	3 × 2 × 1	= 3 × 2!	= 6
4	4 × 3 × 2 × 1	= 4 × 3!	= 24
5	5 × 4 × 3 × 2 × 1	= 5 × 4!	= 120
6	etc	etc

Ejemplo: ¿Cuánto es 10! si ya sabes que 9!=362.880 ?

10! = 10 × 9!

10! = 10 × 362.880 = 3.628.800

Así que la regla es:

n! = n × (n-1)!

lo que significa "el factorial de cualquier número es: el número por el factorial de (1 menos que el número", por tanto 10! = 10 × 9!, o incluso 125! = 125 × 124!

Qué pasa con "0!"

El factorial de cero es interesante... se suele estar de acuerdo en que 0! = 1.

Parece raro que no multiplicar ningún número dé 1, pero ayuda a simplificar muchas cuestiones.

¿Dónde se usa el factorial?

Los factoriales se usan en muchas áreas de las matemáticas, pero sobre todo en combinaciones y permutaciones

Una pequeña lista

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5.040
8	40.320
9	362.880
10	3.628.800
11	39.916.800
12	479.001.600
13	6.227.020.800
14	87.178.291.200
15	1.307.674.368.000
16	20.922.789.888.000
17	355.687.428.096.000
18	6.402.373.705.728.000
19	121.645.100.408.832.000
20	2.432.902.008.176.640.000
21	51.090.942.171.709.400.000
22	1.124.000.727.777.610.000.000
23	25.852.016.738.885.000.000.000
24	620.448.401.733.239.000.000.000
25	15.511.210.043.331.000.000.000.000

¡Como ves, crecen muy rápido!

Algunas valores muy grandes

70! es aproximadamente 1,1978571669969891796072783721 x 10¹⁰⁰, que es un poco más grande que un Gúgol (un 1 seguido de 100 ceros).

100! es aproximadamente 9,3326215443944152681699238856 x 10¹⁵⁷

200! es aproximadamente 7,8865786736479050355236321393 x 10³⁷⁴

¿Y los decimales?

¿Puedes calcular factoriales de 0,5 o -3,217?

¡Sí que puedes! Pero tienes que usar algo que se llama "función Gamma", y que es mucho más complicado que lo que tratamos aquí.

Factorial de un medio

Lo que sí te puedo decir es que el factorial de un medio (½) es la mitad de la raíz cuadrada de pi = (½)√π, y que los factoriales de algunos "semienteros" son:

n	n!
(-½)!	√π
(½)!	(½)√π
(3/2)!	(3/4)√π
(5/2)!	(15/8)√π

Y todavía complen la regla deque "el factorial de un número es: el número por el factorial de (1 menos que el número)", por ejemplo

(3/2)! = (3/2) × (1/2)!
(5/2)! = (5/2) × (3/2)!

TOMADO DE: http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/factorial.html 

TOMADA DE: https://luiscastellanos.files.wordpress.com/2008/04/factorial.jpg